Математика для менеджеров. Зачет. 3 семестр
- Дана выборка объема . Статистический (или эмпирический) начальный момент k-го порядка находится по формуле
- Для 2-х нормальных независимых величин с одинаковыми дисперсиями получены выборки объема и с такими характеристиками: . При уровне значимости a=0.05 проверяется гипотеза о равенстве генеральных средних (конкурирующая гипотеза ). Область принятия гипотезы равна
- Дана выборка объема . Выборочное среднее находится по формуле
- По выборке объема n=9 вычислили выборочное среднее 15 и исправленную несмещенную дисперсию 9. 95%-ый доверительный интервал для математического ожидания m (t8,0.95=2,3) равен
- По выборке построена таблица статистического распределения выборки, имеющая вид
- Дана выборка объема . Если каждый элемент выборки увеличить в 5 раз, то выборочное среднее
- Известно, что X~N(0,3), Y~N(0.5, 2), Х и Y независимы. S=X+2Y имеет распределение
Дано статистическое распределение выборки
- Выборочное среднее и выборочная дисперсия равны
- Дано статистическое распределение выборки
График эмпирической функции распределения для этой выборки имеет вид
- – стандартная нормальная случайная величина. Случайная величина имеет распределение
- В итоге четырех измерений некоторой физической величины одним прибором получены следующие результаты: 8, 9, 11, 12. Выборочная средняя результатов измерений, выборочная и исправленная дисперсии ошибок прибора равны соответственно
- Случайная величина распределена равномерно на отрезке [0, 2]. Ее математическое ожидание равно
- Для упрощения счета из всех значений выборки вычли 1280. При этом эмпирическая дисперсия
- Для построения доверительного интервала для дисперсии надо пользоваться таблицами
- Было проведено выборочное обследование доходов жителей. Оказалось, что половина жителей имеет доходы от 0 до 400 рублей, а половина – от 400 до 2000 рублей. По этим данным построили гистограмму. Она имеет вид
- Дано выборочное распределение
Значение полигона, построенного по данному выборочному распределению, в точке 1280 и моды равны
- Для того, чтобы по выборке объема n = 10 построить доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения, дисперсия которого неизвестна, нужны таблицы
- Случайная величина распределена «нормально с параметрами 3,2» (N[3,2]). Ее математическое ожидание и дисперсия равна
- Дана выборка объема . Если каждый элемент выборки увеличить на 5 единиц, то
- Формула D(-X)=D(X)
- Случайная величина распределена равномерно на [0,1], распределена равномерно на [2,6]. Ее можно получить из с помощью линейного преобразования
- Самое маленькое значение в выборке 0, самое большое 8, медиана 2. По этой выборке построена гистограмма
- Распределение выборки рабочих по времени, затраченному на обработку одной детали, приведено в таблице
Эмпирическое среднее времени, затрачиваемого на обработку одной детали,
- Дана конкретная выборка объема n = 10: 2, 2, 5, 5, 4, 3, 4, 2, 2, 5. Статистическое распределение этой выборки имеет вид
- Величина имеет распределение N(a, ). Вероятность p{<a+2} равна
- Для обработки наблюдений методом наименьших квадратов построена прямая. Ее график:
- Для выборки объема n = 9 рассчитали выборочную дисперсию = 3,86. Исправленная дисперсия равна
- Дано статистическое распределение выборки с числом вариант m:
Статистический (или эмпирический) начальный момент k-го порядка находится по формуле
- По выборке построена гистограмма
По виду гистограммы можно предполагать, что генеральная совокупность, из которой произведена выборка, имеет распределение
- Дана выборка объема n = 10: 2, 3, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 9. Выборочное среднее равно
- Данные о прибыли, полученной в течение месяца, за последние 5 месяцев оказались следующими:
С помощью метода наименьших квадратов по этим точкам строится прямая регрессии. Эта прямая для прибыли в марте дает значение (Указание. Определить это значение без построения прямой регрессии)
- Из генеральной совокупности извлечена выборка, данные по ней сведены в таблицу
Оценка генеральной средней
- Дан вариационный ряд выборки объема n = 10: -2, 0, 3, 3, 4, 5, 9, 11, 12, 15. Выборочная медиана для этого ряда – d равна
- Для 2-х нормальных независимых величин с одинаковыми дисперсиями получены выборки объема и с такими характеристиками: . При уровне значимости проверяется гипотеза о равенстве генеральных средних (конкурирующая гипотеза ). Область принятия гипотезы равна
- Дано статистическое распределение выборки с числом вариант m:
Выборочная средняя равна . Тогда статистический центральный момент k-го порядка находится по формуле:
- По выборке построена гистограмма
Медиана равна
- Вариационный ряд выборки: -7, 2, 4, 0, 3, 2, 1, -5 имеет вид
- Состоятельной, но смещенной точечной оценкой параметра является
- Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей плотность распределения , равны
- Величина имеет распределение N(). Вероятность равна
- Случайная величина X распределена «нормально с параметрами 3,2» - (N[3,2]). Для нее вероятность попасть внутрь интервала [-1,7] равна
- Медиана выборки
равна
- Для проверки гипотезы о равенстве 2-х генеральных средних надо пользоваться таблицами
- Дана выборка объема n = 5: -2, -1, 1, 3, 4. Выборочное среднее и выборочная дисперсия равны
- Из генеральной совокупности извлечена выборка, данные по ней сведены в таблицу
Оценка генеральной средней
- Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной равномерно на отрезке [1,3], равны
- Для упрощения счета из всех значений выборки вычли 1280. При этом эмпирическое среднее
- Дано статистическое распределение выборки с числом вариант m:
Статистический (или эмпирический) начальный момент k-го порядка находится по формуле
- По выборке построена гистограмма
По виду гистограммы можно предполагать, что генеральная совокупность, из которой произведена выборка, имеет распределение
- Наблюдения проводились над системой (х, у) 2-х величин. Результаты наблюдения записаны в таблицу
Коэффициент корреляции равен
- В таблице статистического распределения, построенного по выборке, одна цифра написана неразборчиво
Эта цифра
- По выборке построена статистическая таблица распределения
Значение выборочной медианы
- Наблюдения проводятся над системой (X : Y) двух случайных величин. Выборка состоит из пар чисел: . Найдены для и для (). Тогда выборочный коэффициент корреляции находится по формуле
- Построить гистограмму и полигон распределения роста школьников по таблице
Построить графически моду, найти медиану
- Случайная величина X распределена «нормально с параметрами 0,1» - (N[0,1]). Для нее вероятность попасть внутрь интервала [-3,3] равна
- Дана выборка объема n = 7: 3, 5, -2, 1, 0, 4, 3. Вариационный ряд для этой выборки и размах вариационного ряда
- Случайная величина распределена равномерно на отрезке [0, 4]. Вероятность попасть в интервал [1,3] равна
- По выборке построен доверительный интервал для генерального среднего. Оказалась, что генеральное среднее по такому объему выборки определяется с точностью 0,2. Чтобы повысить точность вдвое, надо объем выборки
- Величина имеет распределение N(). Вероятность равна
- Дана выборка объема n = 5: 2, 3, 5, 7, 8. Выборочное среднее и выборочная дисперсия равны
- Для того, чтобы вдвое сузить доверительный интервал, построенный для математического ожидания, во сколько раз надо увеличить число наблюдений
- Дано статистическое распределение выборки:
Выборочное среднее и выборочная дисперсия равны
- Дано статистическое распределение выборки
Выборочное среднее и выборочная дисперсия равны
- Случайная величина X распределена «нормально с параметрами 3,2» - (N[3,2]). Случайная величина Y=(X-3)/2. Ее математическое ожидание, дисперсия и тип распределения
- Производится выборка объема n = 100 из генеральной совокупности, имеющей распределение N (20,4). По выборке строится выборочное среднее . Эта случайная величина имеет распределение
- Дан вариационный ряд выборки объема n = 9: -2, 0, 3, 3, 4, 5, 9, 11, 12. Выборочная медиана для этого ряда – d равна
- Дан вариационный ряд выборки объема n = 7: -5, -3, 0, 1, 1, 4, 16. Выборочная медиана d и выборочное среднее для этого ряда равны
- По выборке построена таблица статистического распределения выборки. Эта таблица
По выборке объема n из нормального распределения с известной дисперсией строится доверительный интервал для математического ожидания. Если объем выборки увеличить в 25 раз, длина доверительного интервала
- Эмпирический коэффициент корреляции между весом и ростом для выборки
равен
- Дана выборка объема n = 10. Статистическое распределение этой выборки имеет вид
Тогда выборочное среднее для этой выборки равно
- Дана выборка объема n = 5: -6, -4, 0, 4, 6. Выборочное среднее и выборочная дисперсия равны
- Дана выборка объема . Выборочная средняя равна . Тогда статистический центральный момент k-го порядка находится по формуле
- Медиана выборки
равна
- Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [0, 1]. Случайная величина Y=X+2 будет иметь
- По выборке объема n из нормального распределения с неизвестной дисперсией строится доверительный интервал для математического ожидания. Объем выборки увеличиваем в 16 раз. В предположении, что величины и при этом изменятся мало, длина доверительного интервала примерно
- Эмпирический коэффициент корреляции между весом и ростом для выборки
равен
- Для 2-х нормальных независимых величин с одинаковыми дисперсиями получены выборки объема и с такими характеристиками: . При уровне значимости проверяется гипотеза о равенстве генеральных средних (конкурирующая гипотеза ). Опытное значение статистики Т, применяемой для проверки гипотезы , равно 4,17. Гипотеза
- Для сравнения 2-х генеральных средних совокупностей X и Y из них извлекли выборки объема n и m соответственно. Для проверки гипотезы о том, что , надо вычислить статистику
- Значение кумуляты, построенной по таблице, в точке 170, и медианы равны
- Функцию распределения F(х) можно найти по плотности вероятности f(х) по формуле
- Дано статистическое распределение выборки с числом вариант m:
Выборочная средняя равна . Тогда выборочная дисперсия находится по формуле
- Распределение выборки рабочих по времени, затраченному на обработку одной детали, приведено в таблице
Эмпирическое среднее времени, затрачиваемого на обработку одной детали,
- Плотность распределения f(x) можно найти по функции распределения F(х) по формуле
- По выборке объема 100 надо построить доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения, дисперсия которого известна. Для этого необходимо воспользоваться
- Дан вариационный ряд выборки объема n = 8: -2, 0, 3, 4, 6, 9, 12, 16. Выборочная медиана d и выборочное среднее для этого ряда равны
- Дана выборка объема n = 10. Статистическое распределение этой выборки имеет вид
Тогда выборочное среднее для этой выборки равно
- Всегда ли верна формула M(X+Y)=M(X)+M(Y)
- Наблюдения проводились над системой (х, у) 2-х величин. Результаты наблюдения записаны в таблицу
Коэффициент корреляции равен
- В таблице статистического распределения, построенного по выборке, на одно число попала клякса
Это число
- По выборке объема n = 100 вычислены выборочное среднее – 54 и выборочная дисперсия – 16. 95%-ый доверительный интервал для генерального среднего равен
- Число грузовых машин, проезжающих мимо бензоколонки, относится к числу легковых машин, как 3:2. Известно, что в среднем одна из 30 грузовых и одна из 25 легковых машин останавливается для заправки. Найти вероятность того, что проезжающая машина будет заправляться.
- Вероятность суммы любых случайных совместных событий A и B вычисляется по формуле:
- Завод в среднем дает 28% продукции высшего сорта и 70% – первого сорта. Найдите вероятность того, что наудачу взятое изделие будет или высшего, или первого сорта.
- Чему равна вероятность достоверного события?
- Если вероятность события A есть р(A), то чему равна вероятность события, ему противоположного?
- Количество поражений шахматиста в течение года имеет распределение Пуассона с параметром . Вероятность того, что шахматист в течение года проиграет не более двух партий равна
- Для вероятности р по выборке объема n с помощью величины и таблиц нормального распределения строится доверительный интервал. Если увеличить объем выборки в 100 раз, длина доверительного интервала примерно
- Производится n независимых испытаний, в которых вероятность наступления события A равна p. n велико. Вероятность того, что событие A наступит m раз, вычисляется по формуле или используются асимптотические приближения?
- Человеку, достигшему 60-летнего возраста, вероятность умереть на 61-м году жизни равна 0,09. Какова вероятность того, что из трех человек в возрасте 60 лет ни один не будет жив через год?
- MX = 5, MY = 2. Используя свойства математического ожидания, найдите M(2X - 3Y).
- Бросаются 2 кубика. Вероятность, что сумма выпавших очков равна 3, составит
- На некоторой фабрике машина А производит 40% продукции, а машина B – 60%. В среднем 9 из 1000 единиц продукции, произведенных машиной А, и 1 из 250, произведенных машиной B, оказываются бракованными. Какова вероятность, что случайно выбранная единица продукции окажется бракованной?
- На отрезке длиной 20 см помещен меньший отрезок L длиной 10 см. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на большой отрезок, попадет также и на меньший отрезок. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.
- Завод в среднем дает 27% продукции высшего сорта и 70% – первого сорта. Найдите вероятность того, что наудачу взятое изделие не будет высшего или первого сорта.
- Вероятность появления события А в испытании равна 0,1. Чему равно среднеквадратическое отклонение числа появлений события А в одном испытании?
- Случайная величина X принимает значения 7, -2, 1, -5, 3 с равными вероятностями. Найдите MX.
- Куплено 1000 лотерейных билетов. На 80 из них упал выигрыш по 1 руб., на 20 – по 5 руб., на 10 – по 10 руб. Какая таблица описывает закон распределения выигрыша?
- Условной вероятностью события B при условии, что событие A с ненулевой вероятностью произошло, называется:
- В среднем каждое сотое изделие, производимое предприятием, дефектное. Если взять два изделия, какова вероятность, что оба окажутся исправными?
- Проверяется гипотеза о том, что вероятность выиграть в рулетку 1/37. Доверительный интервал с уровнем доверия 95% строится по формуле , где , n – число испытаний, m – количество выигрышей. Сколько надо сделать число ставок (т.е. каким взять n), чтобы отношение числа выигрышей (m к числу n), отличалось от 1/37 не более, чем на 0,01?
- Лампочки изготавливаются независимо друг от друга. В среднем одна лампочка из тысячи оказывается бракованной. Чему равна вероятность того, что из двух взятых наугад лампочек окажутся исправными обе?
- Задана таблица распределения случайной величины. Найти C.
- Быстро вращающийся диск разделен на четное число равных секторов, попеременно окрашенных в белый и черный цвет. По диску произведен выстрел. Найти вероятность того, что пуля попадет в один из белых секторов. Предполагается, что вероятность попадания пули в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры.
- Куплено 500 лотерейных билетов. На 40 из них упал выигрыш по 1 руб., на 10 – по 5 руб., на 5 – по 10 руб. Найдите средний выигрыш, приходящийся на один билет.
- Изделия изготавливаются независимо друг от друга. В среднем одно изделие из ста оказывается бракованным. Чему равна вероятность того, что из двух взятых наугад изделий окажутся неисправными оба?
- Два стрелка стреляют по разу в общую цель. Вероятность попадания в цель у одного стрелка 0,8, у другого – 0,9. Найти вероятность того, что цель не будет поражена ни одной пулей.
- Бросается 6 монет. Вероятность того, что герб выпадет более четырех раз равна:
- В круг радиусом 20 см помещен меньший круг радиусом 10 см так, что их центры совпадают. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения.
- Из колоды, состоящей из 36 карт, вынимают наугад две карты. Вероятность того, что это будут две пики равна
- При изготовлении детали заготовка должна пройти четыре операции. Полагая появление брака на отдельных операциях событиями независимыми, найти (с точностью до 4-х знаков после запятой) вероятность изготовления нестандартной детали, если вероятность брака на первой стадии операции равна 0,02, на второй – 0,01, на третьей – 0,02, на четвертой – 0,03.
- В группе 25 студентов, из которых отлично учится 5 человек, хорошо – 12, удовлетворительно – 6 и слабо – 2. Преподаватель вызывает студента. Какова вероятность того, что вызванный студент или отличник или хорошист?
- Количество Х принимаемых по телефону за час звонков имеет распределение Пуассона. Среднее количество принимаемых за час звонков . Вероятность того, что за час будет принято точно 3 звонка равна
- С первого станка на сборку поступает 40% деталей, остальные 60% со второго. Вероятность изготовления бракованной детали для первого и второго станка соответственно равна 0,01 и 0,04. Найдите вероятность того, что наудачу поступившая на сборку деталь окажется бракованной.
- Бросается 5 монет. Какова вероятность того, что три раза выпадет герб?
- Теннисист идет на игру. Если ему дорогу перебежит черная кошка, то вероятность победы 0,2; если не перебежит, то – 0,7. Вероятность, что кошка перебежит дорогу – 0,1; что не перебежит – 0,9. Вероятность победы:
- В ящике в 5 раз больше красных шаров, чем черных. Найти вероятность p того, что вынутый наугад шар окажется красным.
- Выпущено 100 лотерейных билетов, причем установлены призы, из которых 8 по 1 руб., 2 – по 5 руб. и 1 – 10 руб. Найдите вероятности (билет не выиграл), (билет выиграл 1 руб.), (билет выиграл 5 руб.) и (билет выиграл 10 руб.) событий.
- Задана таблица распределения случайной величины. Найти р(X < 3).
- Возможные значения случайной величины X таковы: . Известны вероятности: р(X = 2) = 0.4; р(X = 5) = 0.15. Найдите р(X = 8).
- В круг радиусом 10 помещен меньший круг радиусом 5. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет также и в малый круг. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения.
- Имеется группа из n несовместных событий Hi, в сумме составляющих все пространство, и известны вероятности P(Hi), а событие A может наступить после реализации одного из Hi, и заданы вероятности P(A/Hi). Известно, событие A произошло. Вероятность, что при этом была реализована Hi вычисляется по формуле
- Человеку, достигшему 20-летнего возраста, вероятность умереть на 21-м году жизни равна 0,01. Какова вероятность того, что из 200 застраховавшихся человек в возрасте 20-ти лет один умрет через год?
- Для построения доверительного интервала для оценки вероятности надо пользоваться таблицами
- Вероятность суммы любых случайных событий A и B вычисляется по формуле:
- Из колоды, состоящей из 36 карт, вынимают наугад две карты. Вероятость того, что попадут две карты одинаковой масти равна
- Вероятность того, что размеры детали, выпускаемой станком-автоматом, окажутся в пределах заданных допусков, равна 0,96. Каков процент брака q? Какое количество негодных деталей в среднем (назовем это число M) будет содержаться в каждой партии объемом 500 штук?
- Производится n независимых испытаний, в которых вероятность наступления события A равна p. Вероятность того, что событие A наступит m раз
- Вероятность выиграть в кости равна 1/6. Игрок делает 120 ставок. Каким асимптотическим приближением можно воспользоваться, чтобы сосчитать вероятность того, что число выигрышей не будет меньше 15?
- Студенту предлагают 6 вопросов и на каждый вопрос 4 ответа, из которых один верный, и просят дать верные ответы. Студент не подготовился и выбирает ответы наугад. Какова вероятность того, что он правильно ответит ровно на половину вопросов? (С точностью до 3-х знаков после запятой)
- 0.09. Какова вероятность того, что из трех человек в возрасте 60 лет хотя бы один умрет через год? (с точностью до 4-х знаков после запятой).
- Бросаются 2 монеты. Вероятность того, что выпадут и герб, и решка, равна
- События называются независимыми, если:
- Для проверки на всхожесть было посеяно 2000 семян, из которых 1700 проросло. Равной чему можно принять вероятность p прорастания отдельного семени в этой партии? Сколько семян в среднем (назовем это число M) взойдет из каждой тысячи посеянных?
- В пирамиде 5 винтовок, 3 из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность попадания для стрелка при выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0,95, из обычной винтовки – 0,7. Стрелок наудачу берет винтовку и стреляет. Найти вероятность того, что мишень будет поражена.
- X и Y – независимы. DX = 5, DY = 2. Используя свойства дисперсии, найдите D(2X+3Y).
- Вероятность любого события всегда удовлетворяет следующему условию
- Если имеется группа из n несовместных событий Hi, в сумме составляющих все пространство, и известны вероятности P(Hi), а событие A может наступить после реализации одного из Hi и известны вероятности P(A/Hi), то P(A) вычисляется по формуле
- Монету бросали 100 раз. 70 раз выпал орел, для проверки гипотезы о симметричности монеты строим доверительный интервал и проверяем, попали ли мы в него. По какой формуле строится доверительный интервал, и что даст проверка в нашем конкретном случае?
- Изделия изготавливаются независимо друг от друга. В среднем одно изделие из ста оказывается бракованным. Чему равна вероятность того, что из 200 взятых наугад изделий 2 окажутся неисправными?
- Страхуется 1600 автомобилей; вероятность того, что автомобиль может попасть в аварию, равна 0,2. Каким асимптотическим приближением можно воспользоваться, чтобы сосчитать вероятность того, что число аварий не превысит 350?
- MX = 1,5. Используя свойства математического ожидания, найдите M(2X+5).
- Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа станок потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,1, для второго – 0,2 и для третьего – 0,15. Найти вероятность того, что в течение некоторого часа хотя бы один из станков потребует внимания рабочего.
- На некотором заводе было замечено, что при определенных условиях в среднем 1,6% изготовленных изделий оказываются неудовлетворяющими стандарту и идут в брак. Равной чему можно принять вероятность того, что наугад взятое изделие этого завода окажется качественным? Сколько примерно непригодных изделий (назовем это число M) будет в партии из 1000 изделий?
- Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого элемента при включении прибора – 0,03, второго – 0,06. Найти вероятность того, что при включении прибора откажет только второй элемент.
- Два стрелка стреляют по разу в общую цель. Вероятность попадания в цель у одного стрелка 0,6, у другого – 0,7. Найти вероятность того, что цель будет поражена двумя пулями.
- Вероятность появлений события А в испытании равна p. Чему равна дисперсия числа появлений события А в одном испытании?
- Вероятность выиграть, играя в рулетку, 1/37. Сделав ставку 100 раз, мы ни разу не выиграли. Заподозрив, что игра ведется не честно, мы решили проверить свою гипотезу, построив 95%-ый доверительный интервал для вероятности выигрыша. По какой формуле строится интервал и что дала проверка в нашем случае?
- Для контроля качества продукции завода из каждой партии готовых изделий выбирают для проверки 1000 деталей. Проверку не выдерживают в среднем 80 изделий. Равной чему можно принять вероятность того, что наугад взятое изделие этого завода окажется качественным? Сколько примерно бракованных изделий (назовем это число M) будет в партии из 10000 единиц?
- DX = 1,5. Используя свойства дисперсии, найдите D(2X+5).