Математика для менеджеров. Зачет. 3 семестр


  1. Дана выборка объема . Статистический (или эмпирический) начальный момент k-го порядка находится по формуле
  2. Для 2-х нормальных независимых величин с одинаковыми дисперсиями получены выборки объема и с такими характеристиками: . При уровне значимости a=0.05 проверяется гипотеза о равенстве генеральных средних (конкурирующая гипотеза ). Область принятия гипотезы равна
  3. Дана выборка объема . Выборочное среднее находится по формуле
  4. По выборке объема n=9 вычислили выборочное среднее 15 и исправленную несмещенную дисперсию 9. 95%-ый доверительный интервал для математического ожидания m (t8,0.95=2,3) равен
  5. По выборке построена таблица статистического распределения выборки, имеющая вид

  1. Дана выборка объема . Если каждый элемент выборки увеличить в 5 раз, то выборочное среднее
  2. Известно, что X~N(0,3), Y~N(0.5, 2), Х и Y независимы. S=X+2Y имеет распределение

Дано статистическое распределение выборки

  1. Выборочное среднее и выборочная дисперсия равны
  2. Дано статистическое распределение выборки

График эмпирической функции распределения для этой выборки имеет  вид

  1. стандартная нормальная случайная величина. Случайная величина имеет распределение
  2. В итоге четырех измерений некоторой физической величины одним прибором получены следующие результаты: 8, 9, 11, 12. Выборочная  средняя результатов измерений, выборочная и исправленная дисперсии ошибок прибора равны соответственно
  3. Случайная величина распределена равномерно на отрезке [0, 2].  Ее математическое ожидание равно
  4. Для упрощения счета из всех значений выборки вычли 1280. При этом эмпирическая дисперсия
  5. Для построения доверительного интервала для дисперсии надо пользоваться таблицами
  6. Было проведено выборочное обследование доходов жителей. Оказалось, что половина жителей имеет доходы от 0 до 400 рублей, а половина от 400 до 2000 рублей. По этим данным построили гистограмму. Она имеет вид
  7. Дано выборочное распределение

Значение полигона, построенного по данному выборочному распределению, в точке 1280 и моды равны

  1. Для того, чтобы по выборке объема n = 10 построить доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения, дисперсия которого неизвестна, нужны таблицы
  2. Случайная величина распределена «нормально с параметрами 3,2» (N[3,2]). Ее математическое ожидание и дисперсия равна
  3. Дана выборка объема . Если каждый элемент выборки увеличить на 5 единиц, то
  4. Формула D(-X)=D(X)
  5. Случайная величина распределена равномерно на [0,1], распределена равномерно на [2,6]. Ее можно получить из с помощью линейного преобразования
  6. Самое маленькое значение в выборке 0, самое большое 8, медиана 2. По  этой выборке построена гистограмма
  7. Распределение выборки рабочих по времени, затраченному на обработку одной детали, приведено в таблице

Эмпирическое среднее времени, затрачиваемого на обработку одной детали,

  1. Дана конкретная выборка объема n = 10: 2, 2, 5, 5, 4, 3, 4, 2, 2, 5. Статистическое распределение этой выборки имеет вид
  2. Величина имеет распределение N(a, ). Вероятность p{<a+2} равна
  3. Для обработки наблюдений методом наименьших квадратов построена прямая. Ее график:
  4. Для выборки объема n = 9 рассчитали выборочную дисперсию = 3,86. Исправленная дисперсия равна
  5. Дано статистическое распределение выборки с числом вариант m:

Статистический (или эмпирический) начальный момент k-го порядка находится по формуле

  1. По выборке построена гистограмма

По виду гистограммы можно предполагать, что генеральная совокупность, из которой произведена выборка, имеет распределение

  1. Дана выборка объема n = 10: 2, 3, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 9. Выборочное среднее равно
  2. Данные о прибыли, полученной в течение месяца, за последние 5 месяцев оказались следующими:

С помощью метода наименьших квадратов по этим точкам строится прямая регрессии. Эта прямая для прибыли в марте дает значение (Указание. Определить это значение без построения прямой регрессии)

  1. Из генеральной совокупности извлечена выборка, данные по ней сведены в  таблицу

Оценка генеральной средней

  1. Дан вариационный  ряд выборки  объема n = 10: -2,  0,  3,  3,  4,  5, 9, 11, 12, 15. Выборочная медиана для этого ряда d равна
  2. Для 2-х нормальных независимых величин с одинаковыми дисперсиями получены выборки объема и с такими характеристиками: . При уровне значимости проверяется гипотеза о равенстве генеральных средних (конкурирующая гипотеза ). Область принятия гипотезы равна
  3. Дано статистическое распределение выборки с числом вариант m:

Выборочная средняя равна . Тогда статистический центральный момент k-го порядка находится по формуле:

  1. По выборке построена гистограмма

Медиана равна

  1. Вариационный ряд выборки: -7, 2, 4, 0, 3, 2, 1, -5 имеет вид
  2. Состоятельной, но смещенной точечной оценкой параметра является
  3. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей плотность распределения , равны
  4. Величина имеет распределение N(). Вероятность равна
  5. Случайная величина X распределена «нормально с параметрами 3,2» - (N[3,2]). Для нее вероятность попасть внутрь интервала [-1,7] равна
  6. Медиана выборки

равна

  1. Для проверки гипотезы о равенстве 2-х генеральных средних надо пользоваться таблицами
  2. Дана выборка объема n = 5: -2, -1, 1, 3, 4. Выборочное среднее и выборочная дисперсия равны
  3. Из генеральной совокупности извлечена выборка, данные по ней сведены в  таблицу

Оценка генеральной средней

  1. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной равномерно на отрезке [1,3], равны
  2. Для упрощения счета из всех значений выборки вычли 1280. При этом эмпирическое среднее
  3. Дано статистическое распределение выборки с числом вариант m:

Статистический (или эмпирический) начальный момент k-го порядка находится по формуле

  1. По выборке построена гистограмма

По виду гистограммы можно предполагать, что генеральная совокупность, из которой произведена выборка, имеет распределение

  1. Наблюдения проводились над системой (х, у) 2-х величин. Результаты наблюдения записаны в таблицу

Коэффициент корреляции равен

  1. В таблице статистического распределения, построенного по выборке, одна цифра написана неразборчиво

Эта цифра

  1. По выборке построена статистическая таблица распределения

Значение выборочной медианы

  1. Наблюдения проводятся над системой (X : Y) двух случайных величин. Выборка состоит из пар чисел: . Найдены для и  для (). Тогда выборочный коэффициент корреляции находится по формуле
  2. Построить гистограмму и полигон распределения роста школьников по таблице

Построить графически моду, найти медиану

  1. Случайная величина X распределена «нормально с параметрами 0,1» - (N[0,1]). Для нее вероятность попасть внутрь интервала [-3,3] равна
  2. Дана выборка объема n = 7: 3, 5, -2, 1, 0, 4, 3. Вариационный ряд для этой выборки и размах вариационного ряда
  3. Случайная величина распределена равномерно на отрезке [0, 4]. Вероятность  попасть в интервал [1,3] равна
  4. По выборке построен доверительный интервал для генерального среднего. Оказалась, что генеральное среднее по такому объему выборки определяется с точностью 0,2. Чтобы повысить точность вдвое, надо объем выборки
  5. Величина имеет распределение N(). Вероятность равна
  6. Дана выборка объема n = 5: 2, 3, 5, 7, 8. Выборочное среднее и выборочная дисперсия равны
  7. Для того, чтобы вдвое сузить доверительный интервал, построенный для математического ожидания, во сколько раз надо увеличить число наблюдений
  8. Дано статистическое распределение выборки:

Выборочное среднее   и выборочная дисперсия   равны

  1. Дано статистическое распределение выборки

Выборочное среднее и выборочная дисперсия равны

  1. Случайная величина X распределена «нормально с параметрами 3,2» - (N[3,2]). Случайная величина Y=(X-3)/2. Ее математическое ожидание, дисперсия и тип распределения
  2. Производится выборка объема n = 100 из генеральной совокупности, имеющей распределение N (20,4). По выборке строится выборочное среднее . Эта случайная величина имеет распределение
  3. Дан вариационный ряд выборки объема n = 9: -2, 0, 3, 3, 4, 5, 9, 11, 12. Выборочная медиана для этого ряда d равна
  4. Дан вариационный ряд выборки объема n = 7: -5, -3, 0, 1, 1, 4, 16. Выборочная медиана d и выборочное среднее для этого ряда равны
  5. По выборке построена таблица статистического распределения выборки. Эта таблица




По выборке объема n из нормального распределения с известной дисперсией строится доверительный интервал для математического ожидания. Если объем выборки увеличить в 25 раз, длина доверительного интервала

  1. Эмпирический коэффициент корреляции между весом и ростом для выборки

равен

  1. Дана выборка объема n = 10. Статистическое распределение этой выборки имеет вид

Тогда выборочное среднее   для этой выборки равно

  1. Дана выборка объема n = 5: -6, -4, 0, 4, 6. Выборочное среднее и выборочная дисперсия   равны
  2. Дана выборка объема . Выборочная средняя равна . Тогда статистический центральный момент k-го порядка находится по формуле
  3. Медиана выборки

равна

  1. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [0, 1]. Случайная величина Y=X+2 будет иметь
  2. По выборке объема n из нормального распределения с неизвестной дисперсией строится доверительный интервал для математического ожидания. Объем выборки увеличиваем в 16 раз. В предположении, что величины и при этом изменятся мало, длина доверительного интервала примерно
  3. Эмпирический коэффициент корреляции между весом и ростом для выборки

равен

  1. Для 2-х нормальных независимых величин с одинаковыми дисперсиями получены выборки объема и с такими характеристиками: . При уровне значимости проверяется гипотеза о равенстве генеральных средних (конкурирующая гипотеза ). Опытное значение статистики Т, применяемой для проверки гипотезы , равно 4,17. Гипотеза
  2. Для сравнения 2-х генеральных средних совокупностей X и Y из них извлекли выборки объема n и m соответственно. Для проверки гипотезы о том, что , надо вычислить статистику
  3. Значение кумуляты, построенной по таблице, в точке 170, и медианы равны

  1. Функцию распределения F(х) можно найти по плотности вероятности f(х) по формуле
  2. Дано статистическое распределение выборки с числом вариант m:

Выборочная средняя равна . Тогда выборочная дисперсия   находится по формуле

  1. Распределение выборки рабочих по времени, затраченному на обработку одной детали, приведено в таблице

Эмпирическое среднее времени, затрачиваемого на обработку одной детали,

  1. Плотность распределения f(x) можно найти по функции распределения F(х) по формуле
  2. По выборке объема 100 надо построить доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения,  дисперсия которого известна. Для этого необходимо воспользоваться
  3. Дан вариационный ряд выборки объема n = 8: -2, 0, 3, 4, 6, 9, 12, 16. Выборочная медиана d и выборочное среднее для этого ряда равны
  4. Дана выборка объема n = 10. Статистическое распределение этой выборки имеет вид

Тогда выборочное среднее   для этой выборки равно

  1. Всегда ли верна формула M(X+Y)=M(X)+M(Y)
  2. Наблюдения проводились над системой (х, у) 2-х величин. Результаты наблюдения записаны в таблицу

Коэффициент корреляции равен

  1. В таблице статистического распределения, построенного по выборке, на одно число попала клякса

Это число

  1. По выборке объема n = 100 вычислены выборочное среднее 54 и выборочная дисперсия 16. 95%-ый доверительный интервал для генерального среднего равен
  2. Число грузовых машин, проезжающих мимо бензоколонки, относится к числу легковых машин, как 3:2. Известно, что в среднем одна из 30 грузовых и одна из 25 легковых машин останавливается для заправки. Найти вероятность того, что проезжающая машина будет заправляться.
  3. Вероятность суммы любых случайных совместных событий A и B вычисляется по формуле:
  4. Завод в среднем дает 28% продукции высшего сорта и 70% первого сорта. Найдите вероятность того, что наудачу взятое изделие будет или высшего, или первого сорта.
  5. Чему равна вероятность достоверного события?
  6. Если вероятность события A есть р(A), то чему равна вероятность события, ему противоположного?
  7. Количество поражений шахматиста в течение года имеет распределение Пуассона с параметром . Вероятность того, что шахматист в течение года проиграет не более двух партий равна
  8. Для вероятности р по выборке объема n с помощью величины и таблиц нормального распределения строится доверительный интервал. Если увеличить объем выборки в 100 раз, длина доверительного интервала примерно
  9. Производится n независимых испытаний, в которых вероятность наступления события A равна p. n велико. Вероятность того, что событие A наступит m раз, вычисляется по формуле  или используются асимптотические приближения?
  10. Человеку, достигшему 60-летнего возраста, вероятность умереть на 61-м году жизни равна 0,09. Какова вероятность того, что из трех человек в возрасте 60 лет ни один не будет жив через год?
  11. MX = 5, MY = 2. Используя свойства математического ожидания, найдите M(2X - 3Y).
  12. Бросаются 2 кубика. Вероятность, что сумма выпавших очков равна 3, составит
  13. На некоторой фабрике машина А производит 40% продукции, а машина B 60%. В среднем 9 из 1000 единиц продукции, произведенных машиной А, и 1 из 250, произведенных машиной B, оказываются бракованными. Какова вероятность, что случайно выбранная единица продукции окажется бракованной?
  14. На отрезке длиной 20 см помещен меньший отрезок L длиной 10 см. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на большой отрезок, попадет также и на меньший отрезок. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.
  15. Завод в среднем дает 27% продукции высшего сорта и 70% первого сорта. Найдите вероятность того, что наудачу взятое изделие не будет высшего или первого сорта.
  16. Вероятность появления события А в испытании равна 0,1. Чему равно среднеквадратическое отклонение числа появлений события А в одном испытании?
  17. Случайная величина X принимает значения 7, -2, 1, -5, 3 с равными вероятностями. Найдите MX.
  18. Куплено 1000 лотерейных билетов. На 80 из них упал выигрыш по 1 руб., на 20 по 5 руб., на 10 по 10 руб. Какая таблица описывает закон распределения выигрыша?



  1. Условной вероятностью события B при условии, что событие A с ненулевой вероятностью произошло, называется:
  2. В среднем каждое сотое изделие, производимое предприятием, дефектное. Если взять два изделия, какова вероятность, что оба окажутся исправными?
  3. Проверяется гипотеза о том, что вероятность выиграть в рулетку 1/37. Доверительный интервал с уровнем доверия 95% строится по формуле , где , n число испытаний, m количество выигрышей. Сколько надо сделать число ставок (т.е. каким взять n), чтобы отношение числа выигрышей (m к числу n), отличалось от 1/37 не более, чем на 0,01?
  4. Лампочки изготавливаются независимо друг от друга. В среднем одна лампочка из тысячи оказывается бракованной. Чему равна вероятность того, что из двух взятых наугад лампочек окажутся исправными обе?
  5. Задана таблица распределения случайной величины. Найти C.

  1. Быстро вращающийся диск разделен на четное число равных секторов, попеременно окрашенных в белый и черный цвет. По диску произведен выстрел. Найти вероятность того, что пуля попадет в один из белых секторов. Предполагается, что вероятность попадания  пули в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры.
  2. Куплено 500 лотерейных билетов. На 40 из них упал выигрыш по 1 руб., на 10 по 5 руб., на 5   по 10 руб. Найдите средний выигрыш, приходящийся на один билет.
  3. Изделия изготавливаются независимо друг от друга. В среднем одно изделие из ста оказывается бракованным. Чему равна вероятность того, что из двух  взятых наугад изделий окажутся неисправными оба?
  4. Два стрелка стреляют по разу в общую цель. Вероятность попадания в цель у одного стрелка 0,8, у другого 0,9. Найти вероятность того, что цель не будет поражена ни одной пулей.
  5. Бросается 6 монет. Вероятность того, что герб выпадет более четырех раз равна:
  6. В круг радиусом 20 см помещен меньший круг радиусом 10 см так, что их центры совпадают. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения.
  7. Из колоды, состоящей из 36 карт, вынимают наугад две карты.  Вероятность того, что это будут две пики равна
  8. При изготовлении детали заготовка должна пройти четыре операции. Полагая появление брака на отдельных операциях событиями независимыми, найти (с точностью до 4-х знаков после запятой)  вероятность изготовления нестандартной детали, если вероятность брака на первой стадии операции равна 0,02, на второй 0,01, на третьей 0,02, на четвертой 0,03.
  9. В группе 25 студентов, из которых отлично учится 5 человек, хорошо 12, удовлетворительно 6 и слабо 2. Преподаватель вызывает студента. Какова вероятность того, что вызванный студент или отличник или хорошист?
  10. Количество Х принимаемых по телефону за час звонков имеет распределение Пуассона. Среднее количество принимаемых за час звонков . Вероятность того, что за час будет принято точно 3 звонка равна
  11. С первого станка на сборку поступает 40% деталей, остальные 60% со второго. Вероятность изготовления бракованной детали для первого и второго станка соответственно равна 0,01 и 0,04. Найдите вероятность того, что наудачу поступившая на сборку деталь окажется бракованной.
  12. Бросается 5 монет. Какова вероятность того, что три раза выпадет герб?
  13. Теннисист идет на игру. Если ему дорогу перебежит черная кошка, то вероятность победы 0,2; если не перебежит, то 0,7. Вероятность, что кошка перебежит дорогу 0,1; что не перебежит 0,9. Вероятность победы:
  14. В ящике в 5 раз больше красных шаров, чем черных. Найти вероятность p того, что вынутый наугад шар окажется красным.
  15. Выпущено 100 лотерейных билетов, причем установлены призы, из которых 8 по 1 руб., 2 по 5 руб. и 1 10 руб. Найдите вероятности (билет не выиграл),  (билет выиграл 1 руб.), (билет выиграл 5 руб.) и (билет вы­играл 10 руб.) событий.
  16. Задана таблица распределения случайной величины. Найти р(X < 3).

  1. Возможные значения случайной величины X таковы: . Известны вероятности: р(X = 2) = 0.4; р(X = 5) = 0.15. Найдите р(X = 8).
  2. В круг радиусом 10 помещен меньший круг радиусом 5. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет также и в малый круг. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения.
  3. Имеется группа из n несовместных событий Hi, в сумме составляющих все пространство, и известны вероятности P(Hi), а событие A может наступить после реализации одного из Hi, и заданы вероятности P(A/Hi). Известно, событие A произошло. Вероятность, что при этом была реализована Hi вычисляется по формуле
  4. Человеку, достигшему 20-летнего возраста, вероятность умереть на 21-м году жизни равна 0,01. Какова вероятность того, что из 200 застраховавшихся человек в возрасте 20-ти лет один умрет через год?
  5. Для построения доверительного интервала для оценки вероятности надо пользоваться таблицами
  6. Вероятность суммы любых случайных событий A и B вычисляется по формуле:
  7. Из колоды, состоящей из 36 карт, вынимают наугад две карты. Вероятость того, что попадут две карты одинаковой масти равна
  8. Вероятность того, что размеры детали, выпускаемой станком-автоматом, окажутся в пределах заданных допусков, равна 0,96. Каков процент брака q? Какое количество негодных деталей в среднем (назовем это число M) будет содержаться в каждой партии объемом 500 штук?
  9. Производится n независимых испытаний, в которых вероятность наступления события A равна p. Вероятность того, что событие A наступит m раз
  10. Вероятность выиграть в кости равна 1/6. Игрок делает 120 ставок. Каким асимптотическим приближением можно воспользоваться, чтобы сосчитать вероятность того, что число выигрышей не будет меньше 15?
  11. Студенту предлагают 6 вопросов и на каждый вопрос 4 ответа, из которых один верный, и просят дать верные ответы. Студент не подготовился и выбирает ответы наугад. Какова вероятность того, что он правильно ответит ровно на половину вопросов? (С точностью до 3-х знаков после запятой)
  12. 0.09. Какова вероятность того, что из трех человек в возрасте 60 лет хотя бы один умрет через год? (с точностью до 4-х знаков после запятой).
  13. Бросаются 2 монеты. Вероятность того, что выпадут и герб, и решка, равна
  14. События называются независимыми, если:
  15. Для проверки на всхожесть было посеяно 2000 семян, из которых 1700 проросло. Равной чему можно принять вероятность p прорастания отдельного семени в этой партии? Сколько семян в среднем (назовем это число M) взойдет из каждой тысячи посеянных?
  16. В пирамиде 5 винтовок, 3 из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность попадания для стрелка при выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0,95, из обычной винтовки 0,7. Стрелок наудачу берет винтовку и стреляет. Найти вероятность того, что мишень будет поражена.
  17. X и Y независимы. DX = 5, DY = 2. Используя свойства дисперсии, найдите D(2X+3Y).
  18. Вероятность любого события всегда удовлетворяет следующему условию
  19. Если имеется группа из n несовместных событий Hi, в сумме составляющих все пространство, и известны вероятности P(Hi), а событие A может наступить после реализации одного из Hi и известны вероятности P(A/Hi), то P(A) вычисляется по формуле
  20. Монету бросали 100 раз. 70 раз выпал орел, для проверки гипотезы о симметричности монеты строим доверительный интервал и проверяем, попали ли мы в него. По какой формуле строится доверительный интервал, и что даст проверка в нашем конкретном случае?
  21. Изделия изготавливаются независимо друг от друга. В среднем одно изделие из ста оказывается бракованным. Чему равна вероятность того, что из 200 взятых наугад изделий 2 окажутся неисправными?
  22. Страхуется  1600 автомобилей;  вероятность того, что автомобиль может попасть в аварию, равна 0,2. Каким асимптотическим приближением можно воспользоваться, чтобы сосчитать вероятность того, что число аварий не превысит 350?
  23. MX = 1,5. Используя свойства математического ожидания, найдите M(2X+5).
  24. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа станок потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,1, для второго 0,2 и для третьего 0,15. Найти вероятность того, что в течение некоторого часа хотя бы один из станков потребует внимания рабочего.
  25. На некотором заводе было замечено, что при определенных условиях в среднем 1,6% изготовленных изделий оказываются неудовлетворяющими стандарту и идут в брак. Равной чему можно принять вероятность того, что наугад взятое изделие этого завода окажется качественным? Сколько примерно непригодных изделий (назовем это число M) будет в партии из 1000 изделий?
  26. Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого элемента при включении прибора 0,03, второго 0,06. Найти вероятность того, что при включении прибора откажет только второй элемент.
  27. Два стрелка стреляют по разу в общую цель. Вероятность попадания в цель у одного стрелка 0,6, у другого 0,7. Найти вероятность того, что цель будет поражена двумя пулями.
  28. Вероятность появлений события А в испытании равна p. Чему равна дисперсия числа появлений события А в одном испытании?
  29. Вероятность выиграть, играя в рулетку, 1/37. Сделав ставку 100 раз, мы ни разу не выиграли. Заподозрив, что игра ведется не честно, мы решили проверить свою гипотезу, построив 95%-ый доверительный интервал для вероятности выигрыша. По какой формуле строится интервал и что дала проверка в нашем случае?
  30. Для контроля качества продукции завода из каждой партии готовых изделий выбирают для проверки 1000 деталей. Проверку не выдерживают в среднем 80 изделий. Равной чему можно принять вероятность того, что наугад взятое изделие этого завода окажется качественным? Сколько примерно бракованных изделий (назовем это число M) будет в партии из 10000 единиц?
  31. DX = 1,5. Используя свойства дисперсии, найдите D(2X+5).